虚数的定义是什么(虚数是干嘛的有什么概念)


毫无疑问,e是电气工程的支柱,它的“虚数”指数随处可见:量子理论、电路,甚至理论数学。e^i这个表达式在我们给它定义和解释之前没有任何意义。我们将从讨论指数e^i开始,然后逐步解释更复杂的形式i^x

在深入研究这个问题之前,需要对虚数单位i进行快速描述。它通常被认为是“虚数”,因为这个值在标准数轴上不存在。这里我将对i和一般复数进行不同的解释,所有复数的集合通常称为复平面,有一个很好的理由:复数可以写成这种形式

虚数:一个虚构指数的几何意义

对于两个实数a和b,我们可以用平面上的点(a,b)来表示这个复数,这样我们就可以把x轴看作“实”轴,y轴作为“虚”轴。就像平面上的点一样,我们可以把复数看作是向量空间的一部分(也就是说我们可以把它们相加),但是复平面也含有乘法结构运算。与一个实数相乘对应的是复数的“拉伸”,但与i相乘实际上代表了90度的旋转。让我们来看几个例子:

虚数:一个虚构指数的几何意义

如果我们把1看作是水平轴上单位长度的向量,那么乘以i等于旋转90度,这将使它与y轴上的单位向量对齐,即虚单位i。

虚数:一个虚构指数的几何意义

这个方程将i解释为-1的平方根。一个更好的解释是从1开始,旋转90度使它垂直于X轴,再旋转90度迫使它回到x轴上,但指向左边。更几何的解释如下所示

虚数:一个虚构指数的几何意义

从i的角度来看,我们可以对表达式i^n构建一个有意义的解释:它表示n个连续的90度旋转,或n*π/2的总旋转。这个函数的循环性质,在值{1,i,-1,-i}之间循环,如下所示。

虚数:一个虚构指数的几何意义

现在我们有了足够的背景知识来讨论虚数幂的含义。看我们之前对指数的解释,e^i表示在一个时间单位内以i速率增长的结果。事实上,因为i只是一个旋转,我们可以猜测“以i的速度增长”可能真的意味着“旋转”,但要相信这个猜测,我们将需要一些证明。对于这个问题,回到我们对e^r的定义即增长率r除以单位区间的极限

虚数:一个虚构指数的几何意义

但这一次,增长率是一个90度的旋转:i。现在,我们将把这个作为e^i的定义

虚数:一个虚构指数的几何意义

和之前一样,我们会通过观察有限情况来获得一些直观的认识,从而达到极限。假设n=5,这个可以写成

虚数:一个虚构指数的几何意义

在这里我们可以将括号中的每个量视为对向量1进行处理的一组“方向”向量。在集合之后,我们有了新的向量1+i/5,这可以解释为保持向量1不变,给它加上一个旋转90度,再缩小5倍的值

虚数:一个虚构指数的几何意义

将第二组括号相乘,然后将这个新的矢量作为输入,并将其自身的一个副本旋转90度,并将其压缩到正常长度的五分之一

虚数:一个虚构指数的几何意义

执行接下来的三组方向,我们看到如下图片出现:

虚数:一个虚构指数的几何意义

因此,在我们最初的猜测中,似乎存在某种东西,即虚指数对某种旋转进行编码,在上面的图中,我们可以看到,随着每次旋转,矢量的长度会略微增长。但是当我们在极限中取越来越大的项时,长度的增加会越来越小,实际上,在极限中,我们从向量1开始,在正方向上对它进行无穷小的旋转,然后我们一遍又一遍地重复这个过程,慢慢地将原始向量向正方向旋转得越来越多。我们的极限值就是

虚数:一个虚构指数的几何意义

我们可以通过数值计算,看到它到达点(0.540302,0.841471)。点在到达终点的路上所追踪的极限路径如下图所示。

虚数:一个虚构指数的几何意义
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